대수 구조와 선형대수

 

01 대상과 구조

수학에서 '구조'란 집합(Set)에 추가적인 특징을 부여하여 의미를 부여하는 것이다.

이 특징은 연산(Operation), 관계(Relation), 거리(Metric), 위상(Topology) 등 다양한 형태로 나타날 수 있다.

 

그 중, 숫자들의 모임인 자연수 집합에서 덧셈(+)과 곱셈(x)을 추가하면 대수적 구조를 가진다. 

여기서는 대수적 구조를 중심으로 살펴볼 것이다.

 

집합과 구조의 관계

수학에서 다루는 대상은 크게 집합(Set)과 함수(Function)로 나눌 수 있다.

• 집합: 관심 있는 수학적 대상들의 모임 (ex. 자연수 집합, 실수 집합, 행렬 집합 등)
• 함수: 한 집합에서 다른 집합으로 요소를 연결하는 규칙

집합이 단순한 원소들의 모임이라면, 여기에 어떤 연산(+) 같은 특징을 추가하면, 그 집합은 구조화된 대상(대수 구조)이 된다.

 

Ex) 벡터공간(Vector Space)은 단순한 숫자의 모임이 아니라, 두 가지 연산이 추가된 집합이다.

• 벡터 합(+): 벡터끼리 더할 수 있음
• 스칼라 곱(x): 숫자(스칼라)와 벡터를 곱할 수 있음

위 두 연산이 결합되면서 벡터공간의 구조가 형성되는 것이다.

 

따라서, 집합 + 연산(특징) = 구조 라는 개념이 성립하게 된다.

 

 

02 대수 구조 (Algebraic Structure)

: 대수적 구조에 대해 다시 한 번 정리하자면, 집합에 하나 이상의 연산과 공리를 추가한 것

즉, 단순한 원소들의 모임인 집합이 특정한 규칙을 따르게 되면서 대수적 성질을 갖는 구조로 변형되는 것이다.

ex) 군(Group), 환(Ring), 체(Field), 벡터공간(Vector Space)

 

튜플(Tuple)의 개념

수학적 구조=(집합,특징)

 

수학적 구조는 일반적으로 튜플로 표현된다.

Ex)

• 군(Group): (G,⋅) → 집합 G와 연산 ⋅
• 체(Field): (F, +, x) → 집합 F와 두 개의 연산(덧셈, 곱셈)

즉, 집합과 특징들이 결합되어 하나의 수학적 구조를 이루는 것이 핵심 개념이다.

 

대수적 구조의 기본 요소

• 집합(Set, S): 연산이 적용되는 대상들의 모임
• 연산(Operation, +, × 등): 집합의 원소들 사이에서 정의된 규칙
• 공리(Axiom, 조건): 연산이 만족해야 하는 규칙(법칙)

대수적 구조 = 집합 + 연산 + 공리(조건)

 

 

03 대수적 구조의 유형

(1) 마그마(Magma)

: 기본적인 대수 구조로, 한 집합 S 위에 이항 연산(binary operation, 예: +, x) 하나만 정의된 구조

집합 S가 주어졌을 때, 연산 ∗가 존재하여 아래를 만족하면 마그마라고 한다.

∗ : S×S → S

즉, 연산을 적용해도 여전히 집합 안에 머무른다.

 

(2) 군(Group)

: 마그마에서 몇 가지 추가적인 조건을 만족하면 군(Group)이 된다.

군은 집합과 이항 연산이 있으며, 다음 세 가지 성질을 만족해야 한다.

 

1) 결합법칙(Associativity)

임의의 a, b, c ∈ S에 대해

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

연산의 순서를 바꿔도 결과가 변하지 않으면 반군(Semigroup)

 

2) 항등원(Identity Element, eee) 존재

모든 a ∈ S에 대해

a ∗ e = e ∗ a = a

연산을 해도 변화 없는 원소 e가 존재하면 모노이드(Monoid)

 

3) 역원(Inverse Element) 존재

모든 a ∈ S에 대해

a ∗ a^(−1) = a^(−1) ∗ a = e

자기 자신을 없앨 수 있는 원소(역원 a^(−1))가 존재

 

+ 아벨 군(Abelian Group, 가환 군)

만약 교환법칙(Commutativity) a ∗ b = b ∗ a 을 추가로 만족하면 아벨 군(Abelian Group)

 

(3) 환(Ring)

: 군에서 덧셈과 곱셈, 두 개의 연산이 추가된 구조

덧셈에 대한 아벨 군이며, 곱셈이 존재하고 분배법칙을 만족한다.

 

연산:

• 덧셈 (+)
• 곱셈 (×)

환의 조건:

• 덧셈(+)에 대해 아벨 군
• 곱셈(×)에 대해 모노이드
• 분배법칙(Distributivity) 성립

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

 

(4) 체(Field)

: 체(Field)는 환(Ring)의 확장판으로, 모든 원소에 대한 나눗셈(역원)이 가능한 구조
즉, 환에서 곱셈에 대한 역원이 존재하는 경우 체(Field)가 된다.

 

체의 조건:

• 덧셈에 대해 아벨 군
• 곱셈에 대해 항등원 존재
• 0을 제외한 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가짐

 

- 정수 집합 Z와 덧셈 (+)연산 → 아벨 군
- 행렬 곱셈은 교환법칙을 따르지 않으므로, 일반적인 군이지만 아벨 군은 아님

- 정수 집합 Z는 환이지만, 나눗셈이 항상 되지 않으므로 체가 아님
- 정수 행렬의 집합도 환을 이룸

- 실수 집합 R, 유리수 집합 Q, 복소수 집합 C 등은 체이다.
- 정수 집합 Z는 나눗셈이 항상 되지 않으므로 체가 아님

 

 

벡터공간

: 벡터(Vector)들의 집합과 스칼라(Scalar)의 집합(체, Field)이 주어졌을 때, 벡터끼리의 덧셈과 스칼라곱(Scalar Multiplication) 연산이 정의된 수학적 구조

• 벡터 공간의 원소는 벡터 (ex. 위치, 속도, 힘 등 방향을 가지는 값)
• 벡터가 모여 있는 집합을 V 
• 스칼라는 체(Field) F의 원소이며, 벡터를 확대 또는 축소하는 역할
  • 실수 집합 R → 실수 벡터공간(Real Vector Space)
  • 복소수 집합 C → 복소수 벡터공간(Complex Vector Space)

 

벡터공간의 8가지 공리(조건)

(1) 벡터 덧셈에 대한 4가지 조건 (아벨 군 성질)

• 결합법칙(Associativity)
• 교환법칙(Commutativity)
• 항등원(Identity Element) 존재
• 역원(Inverse Element) 존재

(2) 스칼라곱에 대한 2가지 조건

• 스칼라곱의 결합법칙 (Compatibility with Field Multiplication)
• 스칼라곱의 항등원 (Identity of Scalar Multiplication)

(3) 분배법칙(Distributive Law) 2가지

• 스칼라와 벡터 덧셈에 대한 분배법칙
• 스칼라 덧셈과 벡터에 대한 분배법칙

 

04 공간

내적 공간(Inner Product Space) 은 벡터공간(Vector Space)에 내적(Inner Product) 연산을 추가한 구조
즉, 벡터들의 공간에서 두 벡터 사이의 관계를 정량화(스칼라)하는 기능을 추가한 것이다. (ex. 유사도)

내적이란?

 

• 두 벡터 사이의 관계를 정량화하는 연산
• 결과값이 스칼라(Scalar)로 나온다.
• 벡터 간 유사도(Similarity) 또는 직교(Orthogonality, 수직 여부) 등을 판단할 수 있다.
  (두 벡터의 내적이 0이면 두 벡터 직교(수직))

 

내적 공간에서 유도되는 개념

(1) 내적 공간(Inner Product Space) → 놈 공간(Normed Space)

: 내적이 정의된 공간에서는 놈(Norm, 벡터의 길이)도 정의 가능

 

(2) 놈 공간(Normed Space) → 거리 공간(Metric Space)

: 놈이 정의되면, 이를 이용하여 거리(Distance, Metric)를 정의할 수 있다.

 

(3) 거리 공간(Metric Space) → 위상 공간(Topological Space)

: 거리가 정의되면 열린 집합(Open Set)을 정의할 수 있다. 이를 통해 위상 공간(Topological Space)을 형성한다.

 

차원과 기저

(1) 벡터 공간의 차원(Dimension)

: 벡터공간의 차원은 기저(Basis)의 원소 개수로 정의된다.

• 기저(Basis): 벡터공간에서 선형독립(Linear Independence)이고, 공간을 생성(Span)하는 벡터들의 집합

 

아래의 수식으로 보면,

2차원 유클리드 공간 R2가 벡터 공간으로 주어졌고, 이 공간의 벡터 V는 순서쌍 (x, y)로 표현된다.

그리고, 벡터 공간에서는 벡터끼리의 덧셈(+)과 스칼라곱(⋅)이 정의되어 있다.

 

주어진 기저β는 다음과 같다.

• (1, 0): x축 방향의 단위벡터 (표준 기저)
• (0, 1): y축 방향의 단위벡터 (표준 기저)

 

이 두 벡터는 서로 선형 독립(linearly independent)이며,
어떤 벡터 (x, y) ∈ R2도 다음과 같이 표현할 수 있다.

즉, 이 두 벡터의 선형결합(linear combination)으로 모든 벡터를 표현 가능하므로, 이 벡터들은 기저(Basis)가 된다.

기저 β는 두 개의 원소(벡터)를 가지고 있기 때문에, 이 벡터 공간은 2차원(2D) 공간이다.

 

 

+ 기저는 유일한가?

아니다. 같은 벡터공간에 대해 여러 개의 기저가 존재할 수 있다. 하지만 모든 기저는 같은 개수의 원소를 가진다. (이 개수가 차원)

 

+ 모든 벡터공간에는 기저가 존재할까?

• 항상 존재하는 것은 아니며, 무한 차원의 경우 ‘선택 공리(Axiom of Choice)’가 필요
• Hamel 기저(Hamel Basis): 무한 차원에서도 존재하는 기저

 

넘파이(Numpy)와 벡터공간

 

• 넘파이(Numpy)의 reshape() 함수는 벡터공간의 차원을 보존
• 넘파이의 차원(Dimension)은 수학의 텐서(Tensor) 차수(Rank)와 유사

 

 

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space

https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space